Alterna · 16.3 — Логические элементы и схемы

Логический вентиль — это физическая реализация логической операции (транзисторная схема). Миллиарды вентилей образуют процессор. Каждый компьютер — это гигантская композиция AND, OR, NOT.

ФГОСФОПОГЭ №3

Основные вентили (SVG)

AND (∧)

OR (∨)

NOT (¬)

NAND

AND + NOT. Универсальный элемент: через NAND можно выразить все остальные.

NOR

XOR (⊕)

Симулятор схемы

Кликни по входам — увидишь выход

🔌Схема: (A∧B)∨(¬A∧¬B) — это XNOR (эквивалентность)

F = (A∧B)∨(¬A∧¬B) = A↔B (XNOR). Эта схема выдаёт 1, когда A и B равны.

Логические уравнения

Найти набор переменных, при котором формула истинна

Что такое логическое уравнение?

Логическое уравнение — это логическая формула, в которой нужно найти набор значений переменных, делающих формулу истинной (F = 1). Решение — это все строки таблицы истинности, где результат равен 1.

Пример: решить уравнение A ∧ B = 1

Конъюнкция равна 1 только когда оба операнда равны 1. Решение: A=1, B=1.

Пример: решить уравнение A ⊕ B = 1

XOR даёт 1 при разных значениях. Решения: (A=0,B=1) и (A=1,B=0).

Для ЕГЭ №15 Логические уравнения — типовая задача ЕГЭ №15. Алгоритм: строим таблицу истинности, находим все строки с F=1. Каждая строка — одно решение.

🧮Решатель логических уравнений

Введи уравнение (формула = 1) — получи все решения

Уравнение F = 1

Почему NAND универсален

Через NAND можно построить любую логическую операцию

Универсальность NAND (штрих Шеффера)

NAND — единственный вентиль, из которого можно собрать все остальные:

NOT: ¬A = A NAND A
AND: A∧B = (A NAND B) NAND (A NAND B)
OR: A∨B = (A NAND A) NAND (B NAND B)

🔬Доказательство: NAND → NOT, AND, OR

NOT через NAND

¬A = A NAND A

Оба входа соединены → NAND(A,A) = ¬(A∧A) = ¬A

AND через NAND

A∧B = (A NAND B) NAND (A NAND B)

X = A NAND B, затем X NAND X = ¬X = ¬¬(A∧B) = A∧B

OR через NAND

A∨B = (A NAND A) NAND (B NAND B)

¬A NAND ¬B = ¬(¬A ∧ ¬B) = A∨B (закон де Моргана)

ФактВсе процессоры строятся из NAND (или NOR) — потому что это дешевле и проще в производстве, чем отдельные AND/OR/NOT.

Конструктор логических схем

Перетаскивай элементы на холст — собирай схему — получай таблицу истинности

Как собирать схему

1. Выбери элемент в палитре слева и нажми на него — он появится на холсте.

2. Перемещай элементы перетаскиванием (drag) по холсту.

3. Соединяй элементы: кликни на выход (правый кружок) элемента, затем кликни на вход (левый кружок) другого — появится провод.

4. Нажми «Вычислить» — получишь таблицу истинности для всей схемы.

🔧Drag-and-drop конструктор схем

Нажми элемент в палитре, перетащи на холст, соедини выход→вход

📦 Палитра элементов:

Дешифратор и мультиплексор

Ключевые комбинирующие схемы для ОГЭ/ЕГЭ

Дешифратор (Decoder)

Дешифратор — схема с n входами и 2ⁿ выходами. Активируется только тот выход, номер которого соответствует двоичному коду на входах.

Для 2 входов (A, B) — 4 выхода (Y0–Y3):

A	B	Y0	Y1	Y2	Y3
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	1	0	0	0	1

Формулы Y0 = ¬A∧¬B Y1 = ¬A∧B Y2 = A∧¬B Y3 = A∧B

📡Дешифратор 2→4: интерактив

Мультиплексор (MUX)

Мультиплексор — «переключатель данных». Выбирает один из 2ⁿ входов и передаёт его на единственный выход. n управляющих входов + 2ⁿ входов данных = 1 выход.

Для 4-канального MUX (2 управляющих: S0, S1):

S1	S0	Y
0	0	D0
0	1	D1
1	0	D2
1	1	D3

ФормулаY = (¬S1∧¬S0∧D0) ∨ (¬S1∧S0∧D1) ∨ (S1∧¬S0∧D2) ∨ (S1∧S0∧D3)

🔀Мультиплексор 4→1: интерактив

Выбран канал D0