6 базовых операций, приоритет, де Морган, аксиомы, интерактивный калькулятор.
Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. «Москва — столица России» — истинно. «Который час?» — не высказывание. Вся математическая логика строится на этой простой идее.
Высказывание — повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Логика работает только с такими предложениями. Вопросы, восклицания, приказы высказываниями не являются.
| Предложение | Высказывание? | Истинность |
|---|---|---|
| Москва — столица России | ✓ Да | Истина (1) |
| 2+2=5 | ✓ Да | Ложь (0) |
| Который час? | ✗ Нет | — |
| Снег белый | ✓ Да | Истина (1) |
| Закрой дверь! | ✗ Нет | — |
A, B, C, X, Y. Значение 1 = истина, 0 = ложь.
Из простых высказываний можно строить сложные
Меняет значение на противоположное. ¬A читается «не A».
| A | ¬A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
A∧B истинно только когда оба истинны. Читается «A и B».
| A | B | A∧B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Аналогия: ∧ — как умножение (0·0=0, 0·1=0, 1·0=0, 1·1=1).
A∨B ложно только когда оба ложны. Читается «A или B».
| A | B | A∨B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Внимание: ∨ — «включающее ИЛИ» (как в математике), а не «исключающее»!
A→B ложно только в одном случае: A=1, B=0. Читается «если A, то B».
| A | B | A→B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Смысл: «A достаточно для B». Эквивалентна: ¬A∨B.
A↔B истинно, когда A и B одинаковы. Читается «A тогда и только тогда, когда B».
| A | B | A↔B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
A⊕B истинно когда A и B различны. Читается «A или B, но не оба».
| A | B | A⊕B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Ключевое свойство: A⊕A = 0 (самоинверсия) и A⊕0 = A (нейтральный элемент). XOR — основа сложения в двоичной арифметике (глава 14).
Как и в арифметике — у каждой операции свой приоритет
Как в арифметике: сначала умножение, потом сложение. Скобки меняют порядок!
Нажми «Запуск» — увидишь, как операции выполняются по порядку приоритета
Введи формулу — увидишь таблицу истинности
Как отрицание «проходит» через ∧ и ∨
Отрицание конъюнкции равно дизъюнкции отрицаний.
Отрицание дизъюнкции равно конъюнкции отрицаний.
Основные свойства, которые работают для всех логических операций
Порядок не важен:
Группировка не важна:
Распределение:
Повтор не меняет:
Сильный поглощает слабый:
Два раза «не» = исходное:
Применяй аксиомы для упрощения логических выражений
Дана таблица истинности — определи, какая это операция
5 случайных вопросов, по одному за раз