27.1 — Свободные колебания в LC-контуре

Заряженный конденсатор разряжается через катушку: электрическая энергия превращается в магнитную, затем процесс идёт обратно. В идеальном контуре колебания незатухающие.

ФГОС · 11 классФОП · базовый уровеньинтерактивная модель

LC-контурсобственная частотафазазатухание

Физическая картина

Что происходит и какие границы имеет модель.

Главная идея

Заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода.
Сопротивление вызывает затухание.
Собственная частота зависит от L и C.

Как рассуждатьСначала назовите систему и взаимодействия, затем выберите величины и только после этого записывайте закон. Формула работает в пределах допущений модели.

Законы и величины

Символы следует читать как связь величин, а не как рецепт подстановки.

T = 2\pi\sqrt{LC}

формула Томсона

q=q_m\cos\omega t

заряд конденсатора

Разбор ситуации

Увеличение ёмкости в четыре раза увеличивает период собственных колебаний в два раза.

Связи и применение

В реальном мире

Увеличение ёмкости в четыре раза увеличивает период собственных колебаний в два раза.

Проверка модели

Сравнивайте предсказание с наблюдением, оценивайте единицы, порядок величины и влияние неучтённых факторов. Расхождение не всегда означает ошибку закона: часто идеализация перестаёт быть достаточной.

Что нужно понимать

Результат 1Объяснять физический смысл темы «Свободные колебания в LC-контуре» через модель, а не только через формулу.

Результат 2Различать и корректно использовать термины: LC-контур, собственная частота, фаза.

Результат 3Указывать условия применимости закона, проверять единицы и предельные случаи.

Термины темы

Определение должно указывать физический смысл, а не заменяться бытовым синонимом.

LC-контур: Электрическая цепь из конденсатора и катушки, в которой энергия периодически переходит между электрическим и магнитным полями.
собственная частота: Частота свободных колебаний системы после малого отклонения от равновесия.
фаза: Величина, определяющая состояние периодического процесса в выбранный момент.
затухание: Уменьшение амплитуды колебаний из-за потерь энергии.

Происхождение и вывод формул

Фундаментальный закон нельзя «доказать» алгеброй: для каждой записи указано, является ли она определением, экспериментальным законом или следствием модели.

T = 2\pi\sqrt{LC}

следствие модели

Формула томсона. Ниже показано, из какого определения, опыта или закона возникает эта запись и где она применима.

\frac{q}{C}+L\frac{dI}{dt}=0,\qquad I=\frac{dq}{dt}

В идеальном LC-контуре напряжение конденсатора уравновешивается ЭДС самоиндукции.

\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{q}{LC}=0

Подстановка тока приводит к уравнению гармонического осциллятора.

\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{LC}

Собственная частота уравнения задаёт период колебаний.

Условия: Идеальный колебательный контур с постоянными L и C, нулевым сопротивлением и без излучательных потерь. Контроль: Размерности обеих частей должны совпадать; результат проверяют на знак, порядок и предельный случай.

q=q_m\cos\omega t

следствие модели

Заряд конденсатора. Ниже показано, из какого определения, опыта или закона возникает эта запись и где она применима.

\frac{d^2q}{dt^2}+\omega^2q=0

Баланс напряжений идеального LC-контура даёт уравнение гармонических колебаний заряда.

q(t)=q_m\cos(\omega t+\varphi)

Общее гармоническое решение содержит амплитуду и начальную фазу.

q(0)=q_m,\ I(0)=0\quad\Rightarrow\quad\varphi=0

Если в начальный момент конденсатор заряжен максимально, выбирается косинус без начальной фазы.

Условия: Идеальный LC-контур; отсчёт времени выбран в момент максимального заряда, ω = 1/√(LC). Контроль: Размерности обеих частей должны совпадать; результат проверяют на знак, порядок и предельный случай.

Границы модели и типичные ошибки

Ошибка: забыть условие моделиНельзя переносить формулу на любую ситуацию только из-за совпадения букв. Ключевое условие этой темы: Заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода.

Как проверить рассуждениеСопротивление вызывает затухание. Затем проверьте единицы, направление векторов и поведение результата при нулевом или очень большом параметре.

Вывод по теме

Свободные колебания в LC-контуре

Заряд и ток сдвинуты по фазе на четверть периода.
Сопротивление вызывает затухание.
Любой численный результат сопровождается единицей, знаком и объяснением его физического смысла.

Содержание сверено с ФРП по физике ООО/СОО 2025 года и тематикой действующих линий ФПУ: И. М. Пёрышкин и соавторы (7–9), Г. Я. Мякишев и соавторы (10–11); углубления — с линиями «Инженеры будущего» и В. А. Касьянова. Формулировки оригинальные, тексты учебников не воспроизводятся.