01.2 Откуда отсчитываются координаты

Один вектор допускает разные координатные записи

Координаты отвечают не только на вопрос «где конец стрелки», но и на вопрос «сколько раз взять каждое выбранное направление». Набор $b_1,\ldots,b_n$ называется базисом $\mathbb R^n$, если каждый вектор $x$ единственным образом представим как

Существование такого разложения означает, что базис порождает пространство. Единственность обеспечивается линейной независимостью: равенство $a_1b_1+\cdots+a_nb_n=0$ возможно только при $a_1=\cdots=a_n=0$. Если ненулевая комбинация даёт ноль, один из векторов базиса избыточен, а координаты перестают быть однозначными.

Соберём базисные векторы в столбцы матрицы $B=[b_1\ \cdots\ b_n]$, а коэффициенты в столбец $c$. Тогда одна геометрическая стрелка связывается с координатами формулой

Если столбцы образуют базис, $B$ обратима и

Важно направление преобразования: $c$ сообщает, сколько взять базисных столбцов; $Bc$ восстанавливает мировые координаты $x$. Матрица $B^{-1}$ выполняет обратный переход.

Три точные записи одной стрелки

Пусть мировая стрелка фиксирована: $x=[3,4]^T$.

В стандартном базисе $e_1=[1,0]^T$, $e_2=[0,1]^T$:

В косом базисе $b_1=[1,0]^T$, $b_2=[1,1]^T$:

Коэффициент $-1$ означает один шаг против $b_1$, затем четыре шага вдоль $b_2$. Числа $[-1,4]$, нарисованные в стандартном базисе, дали бы другую стрелку. Они являются координатами исходного $x$ только вместе с матрицей $B$.

Для повёрнутого базиса $b_1=[0,1]^T$, $b_2=[-1,0]^T$:

Во всех трёх случаях меняются числа и координатная сетка, но мировой конец стрелки остаётся $(3,4)$.

Размерность и вырожденный набор

Размерность конечномерного пространства равна числу векторов в любом его базисе. На плоскости два независимых направления достаточны и необходимы. Набор $[1,0]^T,[2,0]^T$ плоскость не порождает: любая комбинация остаётся на горизонтальной прямой,

Для $x=[3,4]^T$ решения нет, потому что вторая координата любой комбинации равна нулю. Для точки $[3,0]^T$, напротив, решений бесконечно много: например, $(c_1,c_2)=(3,0)$ и $(1,1)$. Поэтому отсутствие обратной матрицы проявляется либо отсутствием координат, либо их неединственностью.

Длина в косых координатах

В стандартном ортонормированном базисе $\|x\|_2^2=x^Tx$. В косом базисе нельзя бездумно сложить квадраты коэффициентов $c$. Поскольку $x=Bc$,

Для косого примера

тогда как $(-1)^2+4^2=17$. Матрица Грама хранит углы и длины базисных направлений. Простая сумма квадратов координат работает только для ортонормированного базиса.

В лаборатории переключайте базис при неизменном $x$. Проверяйте не похожесть рисунка, а равенство $Bc=x$. Затем сопоставьте координаты с матрицей Грама: метрика относится к геометрическому объекту, а не автоматически к списку его коэффициентов.