← Вернуться к оглавлению
Alterna · глава 14 · страница 14.3

Двоичная арифметика

Сложение, вычитание, умножение, деление — точно как в десятичной, только цифр две.

Двоичная арифметика — это то, что процессор делает миллиарды раз в секунду. Правила простые: всего 4 комбинации для сложения и 4 для вычитания.

ФГОСФОПОГЭ №10ЕГЭ №14
01

Таблицы арифметических операций

Наведи на ячейку — увидишь результат крупно. Всего 4 правила на каждую операцию.

Сложение

+01
001
1110
Наведи на любую ячейку таблицы

Вычитание

01
00нельзя!
110
Наведи на любую ячейку таблицы

Умножение

×01
000
101
Наведи на любую ячейку таблицы
Связь с десятичной арифметикой Двоичное сложение работает точно так же: если сумма цифр ≥ 2, пишем остаток от деления на 2, а единица уходит в следующий разряд (перенос). Вычитание — аналогично, но с заимствованием: если верхняя цифра меньше нижней, «одолжили» 1 из следующего разряда (=2 в двоичной).
02

Столбик: пошаговая анимация

Сложение и вычитание двух двоичных чисел с подсветкой переноса

Столбик: сложение / вычитание
Красный — заём (для вычитания), зелёный — перенос (для сложения)
03

Умножение и деление

Кратко: умножение — серия сложений со сдвигом; деление — серия вычитаний

Умножение в столбик

Работает как в 10-чной: берём правый разряд второго множителя, умножаем на первый, пишем со сдвигом.

Пример: 1101₂ × 11₂

  1101
×   11
─────
  1101  (×1)
 1101   (×1, со сдвигом на 1)
─────
100111₂
(= 13 × 3 = 39 = 100111₂)

Деление: 110110₂ ÷ 10₂

110110₂ = 54₁₀. Делитель: 10₂ = 2₁₀.
54 ÷ 2 = 27, остаток 0
110110₂ ÷ 10₂ = 11011₂, остаток 0.
Проверка: 11011₂ = 27₁₀. 27 × 2 = 54 ✓
05

Арифметика в произвольной СС

Столбик работает одинаково в любой системе счисления

Принцип

Правила те же, что и в десятичной или двоичной: складываем цифры поразрядно, переносим старший разряд. Меняется только основание — перенос идёт при сумме ≥ q (а не ≥ 10 или ≥ 2).

Пример: A3₁₆ + F7₁₆

3 + 7 = A (10₁₀, < 16 — без переноса)
A + F = 10 + 15 = 25₁₀ = 1×16 + 9 → пишем 9, перенос 1
Результат: 19A₁₆
Проверка: 163₁₀ + 247₁₀ = 410₁₀ = 19A₁₆ ✓
🧮Столбик в произвольной СС
06

Связь с процессором

Глава 25 покажет это подробно — здесь превью

А знаете ли вы? Процессор выполняет вычитание через дополнительный код: A − B = A + (−B)доп. Поэтому в АЛУ (арифметико-логическом устройстве) есть только схема сложения — и она же используется для вычитания. Подробнее — в главе 15.
07

Мини-тест

📝5 случайных заданий